Question

8．對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸交于A_n，B_n兩點(diǎn)，以|A_nB_n|表示該兩點(diǎn)間的距離，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₅B₂₀₁₅|的值是$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式，拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)x軸上兩點(diǎn)間的距離公式，得|A_nB_n|=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再代入計(jì)算即可．

解答 解：∵拋物線的解析式為y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{n}$，0），（$\frac{1}{n+1}$，0），
∴|A_nB_n|=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₅B₂₀₁₅|=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$

點(diǎn)評(píng) 本題是一道找規(guī)律的題目，考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，令y=0，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根正好是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．