Question

5．設(shè)函數(shù)h（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$+2ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）若f（x）=h（x）-3g（x）在x=1處有極值，求a；
（2）若f（x）在[2，3]上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）證明：?x∈（0，+∞），$\frac{x-1}{x}$≤g（x）≤x-1．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，解出即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$a≥\frac{3}{{{x^2}+2x}}$對x∈[2，3]恒成立，求出a的范圍即可；
（3）令m（x）=x-1-g（x），求出函數(shù)m（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論x的范圍，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知可得$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+2ax-3lnx（a∈R）$，其定義域?yàn)椋?，+∞），
又$f'（x）=ax+2a-\frac{3}{x}=\frac{{a{x^2}+2ax-3}}{x}$，
由已知f′（1）=3a-3=0，∴a=1．
（2）$f'（x）=\frac{{a{x^2}+2ax-3}}{x}≥0$對x∈[2，3]恒成立，
∴$a≥\frac{3}{{{x^2}+2x}}$，對x∈[2，3]恒成立，
因?yàn)閤∈[2，3]，所以$\frac{3}{{{x^2}+2x}}$的最大值為$\frac{3}{8}$，
所以$a≥\frac{3}{8}$；
（3）證明：令m（x）=x-1-g（x）=x-1-lnx，則$m'（x）=\frac{x-1}{x}$，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，m'（x）≤0，函數(shù)m（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x時(shí)，m'（x）＞0，函數(shù)m（x）單調(diào)遞增；
故m（x）在x=1處取得最小值m（1）=0，
即?x＞0，有m（x）≥m（0）=0，故g（x）≤x-1．
令$n（x）=\frac{x-1}{x}-g（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$，則$n'（x）=\frac{1-x}{x^2}$，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，n'（x）≥0，函數(shù)n（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)1＜x時(shí)，n'（x）＜0，函數(shù)n（x）單調(diào)遞減；
故n（x）在x=1處取得最大值n（1）=0，
即?x＞0，有n（x）≤n（0）=0，故$\frac{x-1}{x}≤g（x）$，
所以?x∈（0，+∞），$\frac{x-1}{x}≤g（x）$≤x-1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題是一道難題．