Question

3．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　�。�

• A． y=3x+1
• B． y=2^-x-2^x
• C． y=x²+1
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，一次函數(shù)的圖象，減函數(shù)、增函數(shù)的定義，偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找到正確選項(xiàng)．

解答 解：A．y=3x+1，該函數(shù)的圖象既不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．y=2^-x-2^x，x增大時(shí)，y減小，∴該函數(shù)為減函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．y=x²+1，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．y=x|x|，顯然該函數(shù)為奇函數(shù)，y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$，而x≥0時(shí)，x²遞增，x＜0時(shí)，-x²遞增，且x＜0時(shí)，-x²＜0；
∴函數(shù)y=x|x|是增函數(shù)；
∴該選項(xiàng)正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，能畫(huà)出一次函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)的單調(diào)性．