Question

5．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2cosx²-1），若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)量積運算、二倍角的余弦公式變形、兩角差的正弦公式化簡f（x），由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)（1）和正弦函數(shù)的增區(qū)間求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）由x的范圍求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值，根據(jù)恒成立列出不等式求出m的范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+1
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（2cosx²-1）+1…（1分）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1…（3分）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1…（5分）
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π…（6分）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z得，kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈z…（7分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[{kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，（k∈z）…（8分）
（3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1…（10分）
∴2≤f（x）≤3，∴f（x）的最大值是3，…（11分）
∵f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，∴m＞3-2=1…（13分）
即實數(shù)m的取值范圍是（1，+∞）…（14分）

點評 本題考查數(shù)量積運算、二倍角的余弦公式變形、兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．