Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{3}{2}$，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），則滿足$\frac{18}{17}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{10}{9}$的n值為4．

Answer 1

分析 通過2a_n+1+S_n=3（n∈N^*）與2a_n+S_n-1=3（n≥2）作差可知a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n≥2），驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)也成立，進(jìn)而可知S_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），化簡可知$\frac{18}{17}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{10}{9}$等價(jià)于$\frac{1}{17}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{9}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n+S_n-1=3（n∈N^*），
兩式相減，得：2a_n+1-2a_n+a_n=0，
整理得：a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n≥2），
又∵2a₂=3-a₁=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$=a₁，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵$\frac{18}{17}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{10}{9}$，
∴$\frac{18}{17}$＜$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{2n}}）}{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}$=$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$＜$\frac{10}{9}$，
即$\frac{1}{17}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{9}$，
解得：n=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．