Question

20．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，則當角C的值為$\frac{π}{2}$時，tan（A-B）取最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 解法一：由正弦定理化簡已知可得：$sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC$，由tan（A-B）=$\frac{sin（A-B）}{cos（A-B）}=\frac{{\frac{1}{2}sinC}}{cos（A-B）}$，可知當tan（A-B）取最大值時，必有cos（A-B）＞0，設$t=sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC（t≤\frac{1}{2}）$，可求tan（A-B）═$\frac{t}{{\sqrt{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{t^2}{{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{1}{{\frac{1}{t^2}-1}}}$的最大值及C的值．
解法二：由正弦定理及三角形內角和定理化簡已知可得tanA=3tanB，可得tanA＞0．tanB＞0，從而解得$tan（A-B）=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}=\frac{2tanB}{{1+3{{tan}^2}B}}=\frac{2}{{\frac{1}{tanB}+3tanB}}≤\frac{2}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即可得解．

解答 解：解法一：由acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
得：$sinAcosB-sinBcosA=\frac{1}{2}sinC$，
即：$sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC$，
tan（A-B）=$\frac{sin（A-B）}{cos（A-B）}=\frac{{\frac{1}{2}sinC}}{cos（A-B）}$，當tan（A-B）取最大值時，必有cos（A-B）＞0，
∴tan（A-B）═$\frac{{\frac{1}{2}sinC}}{{\sqrt{1-{{sin}^2}（A-B）}}}$，設$t=sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC（t≤\frac{1}{2}）$，
則tan（A-B）═$\frac{t}{{\sqrt{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{t^2}{{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{1}{{\frac{1}{t^2}-1}}}$．
∴當$t=\frac{1}{2}$，即$C=\frac{π}{2}$時，tan（A-B）取最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
解法二：由acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
得：$sinAcosB-sinBcosA=\frac{1}{2}sinC$=$\frac{1}{2}sin（A+B）=\frac{1}{2}（sinAcosB+cosAsinB）$，
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
即tanA=3tanB，
易得tanA＞0．tanB＞0，
∴$tan（A-B）=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}=\frac{2tanB}{{1+3{{tan}^2}B}}=\frac{2}{{\frac{1}{tanB}+3tanB}}≤\frac{2}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴當$\frac{1}{tanB}=3tanB$，即$tanB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$tanA=\sqrt{3}$，
∴$A=\frac{π}{3}，B=\frac{π}{6}，C=\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（任對一空給3分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，基本不等式的應用，屬于基本知識的考查．