Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$．
（1）用定義證明該函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）直接由函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（2）求出函數(shù)的定義域?yàn)镽，再由f（-x）=-f（x）說明函數(shù)是奇函數(shù)．

解答 （1）設(shè)x₁，x₂為[1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{2{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}=\frac{2{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}-2{{x}_{1}}^{2}{x}_{2}-2{x}_{2}}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）-2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$．
∵x₂＞x₁≥1，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$＞0．
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$的定義域?yàn)镽，且f（-x）=$\frac{-2x}{（-x）^{2}+1}=-\frac{2x}{{x}^{2}+1}=-f（x）$，
∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$是定義域上的奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的性質(zhì)，考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定方法，是基礎(chǔ)題．