Question

18．已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)是f^-1（x），g（x）的反函數(shù)為g^-1（x）．
（1）求證f（g（x））的反函數(shù)為g^-1（f^-1（x））；
（2）F（x）=f（-x），G（x）=f^-1（-x），若F（x）是G（x）的反函數(shù)，求證：f（x）是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令t=g（x），則y=f（g（x））=f（t），結(jié)合函數(shù)f（x）的反函數(shù)是f^-1（x），g（x）的反函數(shù)為g^-1（x），可得g^-1（f^-1（y））=x，從而得到f（g（x））的反函數(shù)為g^-1（f^-1（x））；
（2）由已知中G（x）=f^-1（-x），若F（x）是G（x）的反函數(shù)，可得F（x）與f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即F（x）=-f（x），結(jié)合F（x）=f（-x），可得f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）的反函數(shù)是f^-1（x），g（x）的反函數(shù)為g^-1（x）．
令t=g（x），則y=f（g（x））=f（t），
則g^-1（t）=x．f^-1（y）=t，
即g^-1（f^-1（y））=x，
即f（g（x））的反函數(shù)為g^-1（f^-1（x））；
（2）∵F（x）=f（-x），…①
故函數(shù)F（x）與f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
又∵G（x）=f^-1（-x），
∴G（x）與f^-1（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
故G（x）的圖象由f（x）的圖象逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
又∵F（x）是G（x）的反函數(shù)，
故F（x）與G（x）的圖象關(guān)于y=x軸對(duì)稱(chēng)，
故F（x）與f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
即F（x）=-f（x），…②
由①②得：f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反函數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換，函數(shù)的奇偶性，本題比較抽象，難度較大．