Question

5．已知f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-x-ln（1+x），其中a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-x-ln（1+x），（a＞0，x＞-1），
∴f′（x）=ax-1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{ax}^{2}+ax-x-2}{x+1}$，
令g（x）=ax²+（a-1）x-2=0，
△=（a-1）²+8a＞0，
∴x₁=$\frac{1-a-\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，x₂=$\frac{1-a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，
而x₁-（-1）=$\frac{1+a-\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$＜0，x₂-（-1）＞0，
∴x₁＜-1，x₂＞-1，x₁ 不在定義域內(nèi)，舍，
∴令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，
∴函數(shù)f（x）在（-1，$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$）遞減，在（$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的定義域判斷導(dǎo)函數(shù)的根的情況是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．