Question

14．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2BB₁，∠ABC=90°，D為BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C-AD-C₁的余弦值；
（Ⅲ）若E為A₁B₁的中點，求AE與DC₁所成的角．

Answer 1

分析 可設AB=BC=2BB₁=2，以B為坐標原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BB₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）求得則有$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，1），設平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），運用向量垂直的條件，可得法向量，再由法向量和$\overrightarrow{{A}_{1}B}$垂直，即可得證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC₁的法向量和平面ACD的法向量，運用向量的數量積的坐標表示，求得它們夾角的余弦，即可得到所求；
（Ⅲ）求得向量$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$的坐標，運用向量的數量積的坐標表示，求得余弦，即可得到所求角．

解答 （Ⅰ）證明：可設AB=BC=2BB₁=2，以B為坐標原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BB₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
A₁（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），
D（0，1，0），C₁（0，2，1），
則有$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-2，1，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，1），
設平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{A{C}_{1}}$，可得-2x₁+y₁=0，且-2x₁+2y₁+z₁=0，
可取x₁=1，y₁=2，z₁=-2．即有$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，2，-2），
由于$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{n}_{1}}$=-2+0+2=0，
即有$\overrightarrow{{A}_{1}B}⊥\overrightarrow{{n}_{1}}$，
則A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得$\overrightarrow{AD}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），
由C₁C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量為$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，1），
由（Ⅰ）可得平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，2，-2），
由cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{1+4+4}}$=-$\frac{2}{3}$．
故二面角C-AD-C₁的余弦值為$\frac{2}{3}$；
（Ⅲ）解：E為A₁B₁的中點，
則E（1，0，1），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），
cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{D{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}|}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞=$\frac{π}{3}$，
則AE與DC₁所成的角為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定和二面角的平面角以及異面直線所成角的求法，考查向量的運用，考查運算能力，屬于中檔題．