Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＜0}\\{x-a，x≥0}\end{array}\right.$，以下說法正確的是（　�。�

• A． ?a∈R，函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增
• B． ?a∈R，函數(shù)f（x）存在零點
• C． ?a∈R，函數(shù)f（x）有最大值
• D． ?a∈R，函數(shù)f（x）沒有最小值

Answer 1

分析 A，當a=1時，易求f（0）=-1＜$\frac{1}{2}$=f（-1），可判斷A的正誤；
B，當a＜0時，利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）＞0恒成立，從而可判斷B的正誤；
C，當x≥0時，f（x）=x-a，無論a取何值，函數(shù)無最大值，據(jù)此可判斷C的正誤；
D，?a=1∈R，使得函數(shù)f（x）的值域為（0，+∞），沒有最小值，可判斷D的正誤．

解答 解：對于A，當a=1時，f（0）=-1＜$\frac{1}{2}$=f（-1），函數(shù)f（x）在定義域上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯誤；
對于B，當a＜0時，在區(qū)間[0，+∞）上，f（x）=x-a＞0恒成立，在區(qū)間（-∞，0）上，f（x）=2^x＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不存在零點，故B錯誤；
對于C，當x≥0時，f（x）=x-a，無論a取何值，函數(shù)無最大值，故C錯誤；
對于D，?a=1∈R，使得函數(shù)f（x）的值域為（0，+∞），沒有最小值，故D正確．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查分段函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)、最值應(yīng)用，屬于中檔題．