Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)（0，3）且斜率為k的直線l與圓x²+y²=4有兩個不同的交點(diǎn)P和Q．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)A（2，0），B（0，1），若向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{AB}$共線，求k的值．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過點(diǎn)（0，3）且斜率為k的直線l與圓x²+y²=4有兩個不同的交點(diǎn)P和Q，圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，即可求出k的取值范圍；
（2）把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$的坐標(biāo)，再利用$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{AB}$共線，求出k值．

解答 解：（1）經(jīng)過點(diǎn)（0，3）且斜率為k的直線l：y=kx+3，即kx-y+3=0，
∵經(jīng)過點(diǎn)（0，3）且斜率為k的直線l與圓x²+y²=4有兩個不同的交點(diǎn)P和Q，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，
∴k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）把直線l的方程y=kx+3代入曲線C的方程x²+y²=4得，（1+k²）x²+6kx+5=0．
設(shè)P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），則 x₁+x₂=-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{5}{1+{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，kx₁+3+kx₂+3）=（-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+6）．
由A（2，0），B（0，1），∴$\overrightarrow{AB}$=（-2，1）．
∵$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{AB}$共線，
∴-2（-$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+6）=-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，
∴k=2．
即存在常數(shù)k=2滿足題中的條件．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個向量共線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的難點(diǎn)．