Question

18．（理科）已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為直線BC₁上的動點(diǎn)，Q為直線A₁B₁上的動點(diǎn)，則PQ與面BCC₁B₁所成角中最大角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由B₁Q⊥平面BCC₁B₁可知∠QPB₁為PQ與面BCC₁B₁所成的角，且tan∠QPB₁=$\frac{{B}_{1}Q}{{B}_{1}P}$．故而Q與A₁重合，P為BC₁中點(diǎn)時所求線面角最大，設(shè)正方體邊長為1，求出此時PQ的長即可得出所求角的正弦值的最大值．

解答 解∵B₁Q⊥平面BCC₁B₁，
∴∠QPB₁為PQ與面BCC₁B₁所成的角．
∴tan∠QPB₁=$\frac{{B}_{1}Q}{{B}_{1}P}$．
∴點(diǎn)P在BC₁中點(diǎn)，點(diǎn)Q在A₁時所求角的正切值最大，即∠QPB₁最大．
設(shè)正方體邊長為1，∠QPB₁最大時，PB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B₁Q=1，∴PQ=$\sqrt{{1}^{\;}+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
最大成角的正弦值為$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面角的計算，屬于中檔題．