Question

已知函數f(x)=

m

x

+n，f（2）=3，f（-1）=0，
（1）求m，n的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）直接根據條件f（2）=3，f（-1）=0建立方程組進行求解即可；（2）則根據函數單調性的定義進行證明．注意作差化簡后結果的保留形式．

解答：解：（1）根據題意，

f(2)= m 2 +n=3 f(-1)=-m+n=0

，解得m=n=2，
（2）根據（1）知道，f(x)=

x

2

+2，
設x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上是減函數．

點評：本題重點考查函數的單調性，待定系數法求解函數的解析式的一般思想．注意函數單調性的證明問題的一般格式．