Question

若p₁p₂=2(q₁+q₂)，證明：關(guān)于x的方程x²+p₁x+q₁=0與x²+p₂x+q₂=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.

Answer 1

證明：假設(shè)兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則Δ₁＜0且Δ₂＜0，

從而Δ₁+Δ₂＜0.                 ①

又Δ₁+Δ₂=(p₁²-4q₁)+(p₂²-4q₂)

=p₁²+p₂²-4(q₁+q₂)，

由已知2(q₁+q₂)=p₁p₂，

故Δ₁+Δ₂=p₁²+p₂²-2p₁p₂=(p₁-p₂)²≥0，

這與①矛盾.故所給兩方程中至少有一個(gè)有實(shí)數(shù)根.