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求證:關(guān)于x的方程x2+2ax+b=0有實數(shù)根,且兩根均小于2的充分但不必要條件是a≥2且|b|≤4.

證明：∵a≥2,|b|≤4,∴a2≥4≥b.

∴Δ=4(a2-b)≥0.

∴方程x2+2ax+b=0有實根.

又∵

∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=-2a-4≤-4-4=-8＜0.

而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4≥-4+8+4=8＞0,

∴

由以上知,“a≥2且|b|≤4”方程有實數(shù)根且兩根均小于2.

再驗證條件不必要:取x2-x=0的兩根為x1=0,x2=1,則方程的兩根均小于2,而a=-＜2,

∴“方程的兩根小于2”“a≥2且|b|≤4”.

綜上,a≥2且|b|≤4是方程有實數(shù)根且兩根均小于2的充分但不必要條件.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若對任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）≠f（x2），求證：關(guān)于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]有兩個不相等的實數(shù)根且必有一個根屬于（x1，x2）；
（2）若關(guān)于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]在（x1，x2）的根為m，且x1，m-
1
2
，x2成等差數(shù)列，設(shè)函數(shù)f （x）的圖象的對稱軸方程為x=x0，求證：x0＜m2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年四川省瀘州市高考數(shù)學(xué)一診試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)．
（I）求的值；
（II）若關(guān)于x的方程在x∈[0，1）上有實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．
（III）若f（x）的反函數(shù)f-1（x）的圖象過點，求證：．

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同步練習(xí)冊答案