Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，M為AB邊上一點(diǎn)，$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$（λ∈R）且$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$．又已知|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，a²+b²=2$\sqrt{2}$ab，則角C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$）•$\overrightarrow{AB}$=-|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AB}$|=0，可得$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{AB}$，

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$，
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$）•$\overrightarrow{AB}$=-|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AB}$|=0，
∴$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$，C、M、P三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴CM⊥AB，
又|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
∴c²=2absinC，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\sqrt{2}$=sinC，即sinC+cosC=$\sqrt{2}$，得sin（C+$\frac{π}{4}$）=1，所以C=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查余弦函數(shù)的定義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，直徑所對(duì)圓周角為直角．