Question

14．已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d滿足f（1）=2，f（2）=4，f（3）=6，則f（0）+f（4）的所有可能值集合為{32}．

Answer 1

分析 由f（1）=1，f（2）=4，f（3）=6，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x，易得1，2，3為方程f（x）-2x=0的三個(gè)根，而四次方程最多可由四個(gè)根，則可設(shè)方程f（x）-2x=0的另一根為m，進(jìn)而得到f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x，代入可求出f（0）+f（4）的值．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x，則g（1）=g（2）=g（3）=0，
即1，2，3為方程f（x）-2x=0的三個(gè)根
∵方程f（x）-2x=0有四個(gè)根，
故可設(shè)方程f（x）-2x=0的另一根為m
則f（x）-2x=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）
∴f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+2x
所以f（0）+f（4）=6m+6（4-m）+8=32，
所以f（0）+f（4）的所有可能值集合為{32}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的值，關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)g（x）的解析式，利用方程的根的情況得到所求．