Question

9．如圖，動點A在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＜0）的圖象上，動點B在函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，過點A、B分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為A₁、A₂、B₁、B₂，若|A₁B₁|=4，則|A₂B₂|的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先設A，B的坐標，求得|A₂B₂|=$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$=（$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$）•1=$\frac{1}{4}$•（$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$）•（b-a），展開后運用基本不等式求其最值．

解答 解：設A（a，$\frac{1}{a}$），B（b，$\frac{2}$），（a＜0，b＞0），
由|A₁B₁|=4得，b-a=4，
而|A₂B₂|=$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$=（$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$）•1
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$）•（b-a）
=$\frac{1}{4}$[3+（-$\frac{2a}$）+（-$\frac{a}$）]
≥$\frac{1}{4}$[3+2$\sqrt{（-\frac{2a}）•（-\frac{a}）}$]
=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
即|A₂B₂|的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
當且僅當：b²=2a²，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4-4\sqrt{2}}\\{b=8-4\sqrt{2}}\end{array}\right.$，取“=”，
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，涉及“貼1法”的應用和對分析問題和解決問題能力的考查，屬于中檔題．