Question

17．在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），求圓C上的點(diǎn)到直線(xiàn)ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=-2距離的最小值．

Answer 1

分析 先求出圓和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，再求出圓心到直線(xiàn)的距離，由此能求出圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值．

解答 解：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸正軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y，
即（x-1）²+（y-1）²=2，
∵直線(xiàn)ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$=-2，
∴直線(xiàn)直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x+y+4=0$，
圓心C（1，1）到直線(xiàn)$\sqrt{3}x+y+4=0$的距離d=$\frac{|\sqrt{3}+1+4|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{5+\sqrt{3}}{2}$，
∴圓C上的點(diǎn)到直線(xiàn)ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=-2距離的最小值：
$agyzir4_{min}=\frac{5+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}=\frac{5+\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的合理運(yùn)用．