Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，x≥0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$，則滿足f[f（a）]=3的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 令f（a）=t，現(xiàn)在來(lái)求滿足f（t）=3的t，容易判斷f（t）為偶函數(shù)，所以可先求t≥0時(shí)的t，解出為t=1，或3．根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性知，t＜0時(shí)，滿足f（t）=3的解為-1，或-3，而接著就要判斷以下幾個(gè)方程：f（a）=1，f（a）=-1，f（a）=3，f（a）=-3解的個(gè)數(shù)，由于f（x）是偶函數(shù)，所以只需判斷a≥0時(shí)以上幾個(gè)方程解的個(gè)數(shù)即可，而a＜0時(shí)方程解的個(gè)數(shù)和a≥0時(shí)解的個(gè)數(shù)相同，最后即可得出滿足f[f（a）]=3的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)．

解答 解：易知f（x）=-x²+4|x|為偶函數(shù)，
令f（a）=t，則f[f（a）]=3變形為f（t）=3，
t≥0時(shí)，f（t）=-t²+4t=3，解得t=1，或3；
∵f（t）是偶函數(shù)；
∴t＜0時(shí)，f（t）=3的解為，t=-1或-3；
綜上得，f（a）=±1，±3；
當(dāng)a≥0時(shí)，-a²+4a=1，方程有2解；
-a²+4a=-1，方程有1解；
-a²+4a=3，方程有2解；
-a²+4a=-3，方程有1解．
∴當(dāng)a≥0時(shí)，方程f（a）=t有6解；
∵f（x）是偶函數(shù)，∴a＜0時(shí)，f（a）=t也有6解；
綜上所述，滿足f[f（a）]=3的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為12．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查偶函數(shù)的概念及偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及解偶函數(shù)方程和判斷偶函數(shù)方程解的個(gè)數(shù)所用到的方法：只需求出x≥0時(shí)方程的解．