Question

10．定義：已知I時函數(shù)f（x）和g（x）的公共定義域，若存在開區(qū)間D⊆I，使函數(shù)f（x）和g（x）在D上都是單調(diào)遞增函數(shù)或者是單調(diào)遞減函數(shù)，并且他們的導(dǎo)函數(shù)f′（x）和g′（x）在D上也具有相同的單調(diào)性，則函數(shù)f（x）和g（x）在I上互為“保勢函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=ax+lnx和g（x）=3x-e^ax在R⁺上互為“保勢函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是（0，3]．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=ax+lnx和g（x）=3x-e^ax在R⁺上互為“保勢函數(shù)”，則f′（x）和g′（x）在R⁺上也具有相同的單調(diào)性，函數(shù)f（x）和g（x）在R⁺上單調(diào)性一致，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)f（x）=ax+lnx和g（x）=3x-e^ax在R⁺上互為“保勢函數(shù)”，
則f′（x）和g′（x）在R⁺上也具有相同的單調(diào)性，
函數(shù)f（x）和g（x）在R⁺上單調(diào)性一致，
∵f′（x）=a+$\frac{1}{x}$在R⁺上為減函數(shù)，
∴g′（x）=3-ae^ax在R⁺上為減函數(shù)，
故a＞0，
則f′（x）=a+$\frac{1}{x}$＞0在R⁺上恒成立，即f（x）在R⁺上單調(diào)遞增，
則g（x）在R⁺上也單調(diào)遞增，
故g′（x）=3-ae^ax≥0在R⁺上恒成立，
又由g″（x）=-a²e^ax＜0在R⁺上恒成立，
故g′（0）=3-a≥0，
解得：a≤3，
綜上實數(shù)a的取值范圍是（0，3]，
故答案為：（0，3]

點評 本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合運用，正確理解互為“保勢函數(shù)”的概念是解答的關(guān)鍵．