Question

11．已知函數(shù)f（x）=2cosx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱中心；
（2）若0＜α＜π，且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{3}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）展開(kāi)表達(dá)式，利用二倍角與兩角和的正弦函數(shù)，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．
（2）化簡(jiǎn)已知可得sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，結(jié)合角的范圍利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，由cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∵2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
（2）∵0＜α＜π，且f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{1}{3}$，解得：sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，
又∵$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴可得：π＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力，熟練記憶和靈活應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．