Question

12．已知曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{4-k}$=1（k∈R）．
（1）當(dāng)曲線C為橢圓時(shí)，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，且一條漸近線的斜率為$\frac{1}{2}$時(shí)，求曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓方程滿足條件，建立不等式，即可求k的取值范圍；
（2）當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，9-k＞0且4-k＜0，4＜k＜9，利用一條漸近線的斜率為$\frac{1}{2}$，求出k，即可求曲線C的方程．

解答 解：（1）當(dāng)曲線C為橢圓時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{9-k＞0}\\{4-k＞0}\\{9-k≠4-k}\end{array}\right.$∴k＜4；
（2）當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，9-k＞0且4-k＜0，∴4＜k＜9，
∵一條漸近線的斜率為$\frac{1}{2}$，∴$\frac{k-4}{9-k}=\frac{1}{4}$，∴k=5，曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．