Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=-15，且a₁+1，a₂+1，a₄+1成等比數(shù)列，公比不為1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)a₁+1，a₂+1，a₄+1成等比數(shù)列，可得$（{a}_{2}+1）^{2}$=（a₁+1）（a₄+1），又S₃=-15，可得$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=3a₂=-15，解得a₂，進(jìn)而得到d．即可得出a_n．
（2）由（1）可得：S_n=-n²-2n．可得b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=-$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=-$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+1，a₂+1，a₄+1成等比數(shù)列，∴$（{a}_{2}+1）^{2}$=（a₁+1）（a₄+1），
又S₃=-15，∴$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=-15，∴a₂=-5．
∴（-5+1）²=（-5-d+1）（-5+2d+1），解得d=0或d=-2．
d=0時(shí)，公比為1，舍去．
∴d=-2．
∴a_n=a₂-2（n-2）=-5-2（n-2）=-2n-1．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（-3-2n-1）}{2}$=-n²-2n．
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=-$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=-$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$-\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=-$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=-$\frac{3}{4}$+$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．