Question

16．如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且FD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：EF∥平面ABCD；（2）若∠CBA=60°，求直線AF與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）作EO⊥BC，交BC于O，推導(dǎo)出四邊形EODF是平行四邊形，由此能證明EF∥平面ABCD．
（2）以O(shè)為原點，OB為x軸，OA為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AF與平面BEF所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，
∴作EO⊥BC，交BC于O，且EO=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵FD⊥平面ABCD，且FD=$\sqrt{3}$，
∴FD$\underset{∥}{=}$EO，∴四邊形EODF是平行四邊形，
∴EF∥DO，
∵EF?平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
解：（2）∵∠CBA=60°，∴OA⊥OB，
以O(shè)為原點，OB為x軸，OA為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（-2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
設(shè)平面BEF所成角為θ，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-3x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，2，1），
設(shè)直線AF與平面BEF所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{7}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{42}}{28}$．
∴直線AF與平面BEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{28}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．