Question

8．如圖所示，拋物線C：y²=2px（p＞0）與直線AB：y=$\frac{1}{2}$x+b相切于點(diǎn)A．
（1）求p，b滿足的關(guān)系式，并用p表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn)，若以F為直角頂角的Rt△AFB的面積等于25，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程得到拋物線在第一象限部分的函數(shù)式，求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值等于$\frac{1}{2}$得到A的橫坐標(biāo)，代入切線方程和拋物線方程得到p，b的關(guān)系，進(jìn)一步求得A的坐標(biāo)；
（2）求出AF的距離，寫出BF所在直線方程，與切線方程聯(lián)立求得B的坐標(biāo)，得到BF的長度，代入三角形面積公式求得p，則拋物線方程可求．

解答 解：（1）由y²=2px，得$y=\sqrt{2px}$，∴${y}^{′}=\frac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x}}$，
由$\frac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$，解得：x=2p，
把x=2p分別代入y=$\frac{1}{2}$x+b與$y=\sqrt{2px}$，得p+b=2p，
∴b=p，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y=$\frac{1}{2}$x+b=2p
則A的坐標(biāo)為（2p，2p）；
（2）拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}，0$），則$|AF|=\sqrt{（2p-\frac{P}{2}）^{2}+（2p-0）^{2}}=\frac{5}{2}p$，
${k}_{AF}=\frac{2p-0}{2p-\frac{p}{2}}=\frac{4}{3}$，∴${k}_{BF}=-\frac{3}{4}$，
則直線BF的方程為y-0=$-\frac{3}{4}（x-\frac{p}{2}）$，即$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}p$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}p}\\{y=\frac{1}{2}x+p}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=\frac{3}{4}p}\end{array}\right.$，即：B（$-\frac{p}{2}，\frac{3}{4}p$）．
∴|BF|=$\sqrt{（-\frac{p}{2}-\frac{p}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}p-0）^{2}}=\frac{5p}{4}$．
∴${S}_{△AFB}=\frac{1}{2}•\frac{5}{2}p•\frac{5}{4}p=25$，即p=4．
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=8x．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識．考查了考生對基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和知識遷移的能力，是中檔題．