Question

3．設等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22．
（1）設S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項的和，求使S_n取最大值時的n的值．
（2）求使S_n＜0的最小的n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式可得公差d，利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（2）由S_n＜0，解出即可；

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁₀=23，a₂₅=-22，
∴a₂₅=a₁₀+15d，
∴-22=23+15d，解得d=-3．
∴a_n=a₁₀+（n-10）d=23-3（n-10）=53-3n．
令a_n＜0，解得$n＞\frac{53}{3}$=17+$\frac{2}{3}$，
因此該數(shù)列從第18項開始為負數(shù)．
當n=17時，S_n取的最大值．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（50+53-3n）}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+103n}{2}$．
由S_n＜0，可得-3n²+103n＜0，解得$n＞\frac{103}{3}$=34+$\frac{1}{3}$，
∴使S_n＜0的最小的正整數(shù)n=35．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．