Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）對(duì)于曲線(xiàn)上的不同兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線(xiàn)上的點(diǎn)Q（x₀，y₀），
且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線(xiàn)在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)?∥P₁P，則稱(chēng)?為弦P₁P₂的伴隨切線(xiàn)．特別地，當(dāng)x₀=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1）時(shí)，又稱(chēng)?為P₁P₂的λ-伴隨切線(xiàn)．
求證：曲線(xiàn)y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)，并且伴隨切線(xiàn)是唯一的．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類(lèi)討論，即可求得函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）要證明P₁，P₂有伴隨切線(xiàn)，只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，要證明P₁，P₂有伴隨切線(xiàn)，只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，即xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解．構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)的判斷，即可求得曲線(xiàn)y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)，并且伴隨切線(xiàn)是唯一的．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=ax+lnx，求導(dǎo)f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，（x＞0），
當(dāng)a≥0（0，+∞），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在內(nèi)是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）沒(méi)有極值．
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得x=-$\frac{1}{a}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∴當(dāng)x=-$\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）取得極大值f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$）．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）沒(méi)有極值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的極大值為-1+ln（-$\frac{1}{a}$），沒(méi)有極小值．（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））是曲線(xiàn)y=f（x）上的任意兩點(diǎn)，
要證明P₁，P₂有伴隨切線(xiàn)，只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，
要證明P₁，P₂有伴隨切線(xiàn)，只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，．（7分）
∵f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，（x＞0），即證存在x₀∈（x₁，x₂），使得a+$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{a{x}_{2}+ln{x}_{2}-a{x}_{1}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，且點(diǎn)Q不在P₁P₂上．（8分）
以下證明方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解．
設(shè)F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．
則F（x₁）=x₁lnx₂-x₁lnx₁+x₁-x₂．
記g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，0＜x＜x₂，
∴g'（x）=lnx₂-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴F（x₁）=g（x₁）＜g（x₂）=0．（9分）
同理F（x₂）＞0．∴F（x₁）F（x₂）＜0．
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解x=x₀．（10分）
又對(duì)于函數(shù)g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，
∵0＜x₁＜x₀＜x₂，∴g（x₀）=x₀lnx₂-x₀lnx₀+x₀-x₂＜g（x₂）=0，
可知f′（x₀）≠$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，即點(diǎn)Q不在P₁P₂上．
又F（x）=（lnx₂-lnx₁）x+x₁-x₂在（x₁，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有唯一解．
綜上，曲線(xiàn)y=f（x）上任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)，并且伴隨切線(xiàn)是唯一的 …14‘

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間最值等知識(shí)，考查解決存在性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化策略，屬難題．