Question

3．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點，若|AB|≥$\frac{5}{13}$|CD|，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{14}{13}$，+∞）
• B． [$\frac{13}{12}$，+∞）
• C． [$\frac{15}{13}$，2）
• D． [$\frac{5}{4}$，2）

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的右焦點和漸近線方程，令x=c，聯(lián)立方程求出A，B，C，D的坐標(biāo)，結(jié)合距離關(guān)系和條件，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為（c，0），
當(dāng)x=c時代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
則|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$，
將x=c代入y=±$\frac{a}$x得y=±$\frac{bc}{a}$，則C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
則|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|≥$\frac{5}{13}$|CD|，
∴$\frac{2^{2}}{a}$≥$\frac{5}{13}$•$\frac{2bc}{a}$，即b≥$\frac{5}{13}$c，
則b²=c²-a²≥$\frac{25}{169}$c²，
則e≥$\frac{13}{12}$．
故選B．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)方程求出交點坐標(biāo)，結(jié)合距離公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．