Question

15．S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，S₁₀=1991．

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，變形為a_n+1+（n+1）=2（a_n+n），即可數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，其中首項為a₁+1=2，公比為2．求出通項公式
再利用等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式即可得出，代值計算即可．

解答 解：由數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，變形為a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）．
∴數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，其中首項為a₁+1=2，公比為2，
∴a_n+n=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-n
∴S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S₁₀=2¹¹-2-$\frac{10（10+1）}{2}$=1991
故答案為：1991．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．