Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-2kx+k+1．
（1）若f（x）在[-2，3）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，2]上有最小值-5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)得f'（x）=2x-2k，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)得出f'（-2）f'（3）≥0，求解即可；
（2）配方得：f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，對(duì)稱軸x=k，分別對(duì)對(duì)稱軸位置進(jìn)行討論求解．

解答 解：（1）f'（x）=2x-2k
∵f（x）在[-2，3）上是單調(diào)函數(shù)，
∴f'（x）在該區(qū)間恒大于零或恒小于令，
∴f'（-2）f'（3）≥0
∴（k+2）（k-3）≥0
∴k≥3或k≤-2；
（2）f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，對(duì)稱軸x=k．
①當(dāng)k＜1時(shí)，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②當(dāng)1≤k≤2時(shí)，f_min（x）=f（k）=-k2+k+1=-5，解得k=-2或3，（舍去）
③當(dāng)k＞2時(shí)，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得k=$\frac{10}{3}$．
綜合①②③可得k=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考察了導(dǎo)函數(shù)的利用和二次函數(shù)閉區(qū)間最值的討論問題，屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．