Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x₁，x₂，有如下條件：①x₁＞x₂；②$x_1^2＞x_2^2$；③|x₁|＞x₂，其中能使f（x）₁＞f（x₂）恒成立的條件序號是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 先研究函數(shù)的性質(zhì)，觀察知函數(shù)是個偶函數(shù)，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，$\frac{π}{2}$]上f′（x）＞0，可推斷出函數(shù)在y軸兩邊是左減右增，此類函數(shù)的特點是自變量離原點的位置越近，則函數(shù)值越小，欲使f（x₁）＞f（x₂）恒成立，只需x₁，到原點的距離比x₂，到原點的距離大即可，由此可得出|x₁|＞|x₂|，在所給三個條件中找符合條件的即可

解答 解：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，f′（x）=2x+sinx，
當(dāng)0＜x≤$\frac{π}{2}$時，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為單調(diào)增函數(shù)，
由偶函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在[-$\frac{π}{2}$，0]上為減函數(shù)．
當(dāng)x₁²＞x₂²時，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），由函數(shù)f（x）在上[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]為偶函數(shù)得f（x₁）＞f（x₂），故②成立．
∵$\frac{π}{3}$＞-$\frac{π}{3}$，而f（$\frac{π}{3}$）=f（$\frac{π}{3}$），
∴①不成立，同理可知③不成立．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)奇偶性與單調(diào)性，屬于利用性質(zhì)推導(dǎo)出自變量的大小的問題，本題的解題方法新穎，判斷靈活，方法巧妙，屬于中檔題．