Question

3．平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-4}\\{x+y≥0}\\{x≤m}\end{array}\right.$給定，且區(qū)域D的面積為16，若M（x，y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），則Z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最小值是（　�。�

• A． -4
• B． 4
• C． 28
• D． -10

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由區(qū)域D為等腰直角三角形，求面積得到m的值，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得Z=2x+4y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-4}\\{x+y≥0}\\{x≤m}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

區(qū)域D為等腰直角三角形，
由三角形面積為16可得m=2．
又Z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=2x+4y，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得B（2，-2）．
化目標(biāo)函數(shù)Z=2x+4y為$y=-\frac{x}{2}+\frac{Z}{4}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{x}{2}+\frac{Z}{4}$過(guò)點(diǎn)B（2，-2）時(shí)直線在y軸上的截距最小，Z取最小值為2×2+4×（-2）=-4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．