Question

20．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（$\frac{1}{x}$），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，若在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知即可求得f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上的解析式為f（x）=-lnx，從而可畫(huà)出f（x）在$[\frac{1}{3}，3]$上的圖象，而容易知道g（x）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)便是y=f（x）與y=ax交點(diǎn)個(gè)數(shù)．通過(guò)圖象可以看出直線y=ax在其與f（x）=lnx的切點(diǎn)和曲線y=f（x）的右端點(diǎn)之間，從而分別求出相切時(shí)a的值和經(jīng)過(guò)右端點(diǎn)時(shí)a的值即可．

解答 解：設(shè)x∈$[\frac{1}{3}，1]$，則$\frac{1}{x}$∈[1，3]；
∴根據(jù)條件$f（x）=f（\frac{1}{x}）=ln\frac{1}{x}=-lnx$；
g（x）與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)即表示函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=ax有三個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示：

由圖可看出當(dāng)直線y=ax與曲線f（x）=lnx，x∈[1，3]，相切時(shí)直線y=ax和曲線y=f（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
若直線y=ax再向下旋轉(zhuǎn)便有三個(gè)交點(diǎn)，直到y(tǒng)=ax經(jīng)過(guò)曲線y=f（x）的右端點(diǎn)，再向下旋轉(zhuǎn)便成了兩個(gè)交點(diǎn)；
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，lnx₀），∴$a=\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，又$（lnx）′=\frac{1}{x}$，∴$a=\frac{1}{{x}_{0}}$；
∴此時(shí)lnx₀=1，x₀=e；
∴此時(shí)a=$\frac{1}{e}$；
y=f（x）的右端點(diǎn)坐標(biāo)為（3，ln3）；
∴直線y=ax經(jīng)過(guò)右端點(diǎn)時(shí)，a=$\frac{ln3}{3}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$．
故答案為：[$\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)將定義域轉(zhuǎn)變到已知函數(shù)的定義域上求函數(shù)解析式的方法，數(shù)形結(jié)合解題的方法，以及直線和曲線相切時(shí)的斜率和曲線在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．