Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程;
（2）求的取值范圍；
（3）若直線不過點(diǎn)，求證：直線與軸圍成一個等腰三角形.

Answer 1

(1)（2）（3）見解析

解析試題分析：(1)由已知橢圓焦點(diǎn)在軸上可設(shè)橢圓的方程為，（）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b8/9/dxcb62.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，                                  ①
又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，                        ②
聯(lián)立①②解得，故橢圓方程為.                        ……4分
(2)將代入并整理得，
因?yàn)橹本�與橢圓有兩個交點(diǎn)，
所以，解得.                        ……8分
（3）設(shè)直線的斜率分別為和，只要證明即可.
設(shè)，，
則.
所以

所以，所以直線與軸圍成一個等腰三角形.                 ……12分
考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，橢圓中基本量的計(jì)算和直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力、推理論證能力和運(yùn)算能力.
點(diǎn)評：縱觀歷年高考，橢圓是一個高頻考點(diǎn)，題型有選擇題和填空題，難度不大，但解答題是壓軸題，難度較大，所以在學(xué)習(xí)中，同學(xué)們一方面要掌握好橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，另外還要多歸納這些知識的使用方法和應(yīng)用技巧，做到心中有數(shù)，從容應(yīng)對.