Question

7．求下列各函數(shù)的最值．
（1）y=2x+$\sqrt{1-2x}$；
（2）y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）令t=$\sqrt{1-2x}$（t≥0），由二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最值；
（2）由定義域，可令x=3sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，運(yùn)用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最值．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{1-2x}$（t≥0），
則x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
y=1-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最大值，且為$\frac{5}{4}$，
無最小值；
（2）由y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$可得
9-x²≥0，解得-3≤x≤3，
可令x=3sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
則y=3sinα+3cosα+4
=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+4，
由α+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
可得sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即有α=-$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最小值，且為4-3=1；
α=$\frac{π}{4}$時，函數(shù)取得最大值，且為4+3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查根式函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法，運(yùn)用二次函數(shù)的最值和三角函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．