Question

3．某業(yè)余俱樂部由10名乒乓球隊員和5名羽毛球隊員組成，其中乒乓球隊員中有4名女隊員；羽毛球隊員中有2名女隊員，現(xiàn)采用分層抽樣方法（按乒乓球隊和羽毛球隊分層，在每一層內采用簡單隨機抽樣）從這15人中共抽取3名隊員參加一項比賽．
（Ⅰ）求所抽取的3名隊員中乒乓球隊員、羽毛球隊員的人數；
（Ⅱ）求從乒乓球隊抽取的隊員中至少有1名女隊員的概率；
（Ⅲ）記ξ為抽取的3名隊員中男隊員人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據分層抽樣的定義按照比例抽取即可．
（Ⅱ）設“從乒乓球隊抽取的隊員中至少有1名女隊員”為事件A，利用超幾何分布求得概率
（Ⅲ）寫出隨機變量ξ的所有情況，根據超幾何分布寫出各自概率求得分布列期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）抽取乒乓球隊員的人數為$3×\frac{10}{15}=2$人；
羽毛球隊員的人數為$3×\frac{5}{15}=1$人．…..（2分）
（Ⅱ）設“從乒乓球隊抽取的隊員中至少有1名女隊員”為事件A，
則$P（A）=\frac{C_6^1C_4^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{3}$，
所以從乒乓球隊抽取的隊員中至少有1名女隊員的概率為$\frac{2}{3}$．…..（6分）
（Ⅲ）ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}=\frac{4}{75}$
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}+\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}=\frac{22}{75}$
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}+\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}=\frac{34}{75}$，
P（ξ=3）=$\frac{C_6^2•C_3^1}{{C_{10}^2•C_5^1}}=\frac{1}{5}$．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{1}{5}$

∴Eξ=$0×\frac{4}{75}+1×\frac{22}{75}+2×\frac{34}{75}+3×\frac{1}{5}=\frac{9}{5}$．…（13分）

點評 本題主要考查超幾何分布的應用和隨機變量的分布列期望，屬中檔題型，高考�？碱}型．