Question

18．已知值域為[-1，+∞）的二次函數(shù)f（x）滿足f（-1+x）=f（-1-x），且方程f（x）=0兩個實數(shù)根x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=2
（1）求f（x）的表達式．
（2）記max{a，b}表示a和b中的較大者，min{a，b}表示a和b中的較小者，g（x）=f（x）-kx在區(qū)間x∈[-1，2]內(nèi)的最大值為max{f（2），f（-1）}，min{f（2），f（-1）}，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-1+x）=f（-1-x），可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程，根據(jù)函數(shù)f（x）的值域為[-1，+∞），可得函數(shù)的頂點坐標，根據(jù)方程f（x）=0兩個實數(shù)根x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=2，可得函數(shù)圖象與x軸交點的坐標，進而可得f（x）的表達式．
（2）若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間x∈[-1，2]內(nèi)的最大值為max{f（2），f（-1）}，min{f（2），f（-1）}，則函數(shù)g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x在區(qū)間x∈[-1，2]上單調(diào)，進而可得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-1+x）=f（-1-x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
又由函數(shù)f（x）的值域為[-1，+∞），
故函數(shù)f（x）圖象的頂點坐標為（-1，-1），
又由方程f（x）=0兩個實數(shù)根x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=2，
故二次函數(shù)f（x）與x軸的兩個交點坐標為（-2，0）和（0，0），
設(shè)f（x）=a（x+1）²-1，將（0，0）代入得：a=1，
故f（x）=（x+1）²-1=x²+2x
（2）若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間x∈[-1，2]內(nèi)的最大值為max{f（2），f（-1）}，min{f（2），f（-1）}，
則函數(shù)g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x在區(qū)間x∈[-1，2]上單調(diào)，
則$\frac{k-2}{2}$≤-1，或$\frac{k-2}{2}$≥2，
解得：k∈（-∞，0]∪[6，+∞）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．