Question

3．某企業(yè)投資1千萬元用于一個(gè)高科技項(xiàng)目，每年可獲利25%．由于企業(yè)間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出資金200萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率．經(jīng)過多少年后，該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到4倍的目標(biāo)？

Answer 1

分析 設(shè)第n年終資金為a_n萬元，由題意可得a_n=（1+25%）a_n-1-200（n≥2），變形整理可得：a_n-800=$\frac{5}{4}$（a_n-1-800），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，進(jìn)而得出．

解答 解：設(shè)第n年終資金為a_n萬元，由題意可得a_n=（1+25%）a_n-1-200（n≥2），
變形整理可得：a_n-800=$\frac{5}{4}$（a_n-1-800），
故{a_n-800}構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，a₁=1000（1+25%）-200=1050，⇒a₁-800=250，
∴a_n-800=250×$（\frac{5}{4}）^{n-1}$，
令a_n≥4000，得$（\frac{5}{4}）^{n}$≥16，兩邊取對(duì)數(shù)可得：n≥$\frac{4lg2}{1-3lg2}$≈13，
故至少要13年才能達(dá)到目標(biāo)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．