Question

1．已知點（2，3）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上，設(shè)A，B，C分別為橢圓的左頂點、上頂點、下頂點，且點C到直線AB的距離為$\frac{{4\sqrt{7}}}{7}b$．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂）為橢圓上的兩點，且滿足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{{a}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+^{2}{y}_{1}{y}_{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，求證：△MON的面積為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線AB的方程為$\frac{x}{-a}+\frac{y}=1$，點C（0，-b），利用點到直線的距離公式以及點的坐標(biāo)滿足題意方程，求出a，b即可點的橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用判別式韋達定理以及向量的數(shù)量積，通過距離公式表示三角形的面積，然后推出定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得直線AB的方程為$\frac{x}{-a}+\frac{y}=1$，點C（0，-b），
∴點C到直線AB的距離$d=\frac{2ab}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{4\sqrt{7}}}{7}b$，整理，得$\sqrt{3}a-2b=0$．�、�
又點（2，3）在橢圓上，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$．�、�
聯(lián)立①②解得$a=4，b=2\sqrt{3}$，
所以橢圓的C的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．（4分） 
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0．
∵△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-12）=48（12+16k²-m²）＞0，∴12+16k²-m²＞0，∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-12）}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}•{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{3{m^2}-48{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$．    （6分） 
又$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$，則由題意，得${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{{a^2}{x_1}{x_2}+{b^2}{y_1}{y_2}}}{{{a^2}+{b^2}}}=\frac{{16{x_1}{x_2}+12{y_1}{y_2}}}{16+12}$，
整理，得3x₁x₂+4y₁y₂=0，則$3•\frac{{4（{m^2}-12）}}{{3+4{k^2}}}+4•\frac{{3{m^2}-48{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=0$，
整理，得m²=6+8k²（滿足△＞0）．
∵$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}•|{x_1}-{x_2}|$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$═$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{48（12+16{k^2}-{m^2}）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}}$…（8分）
又點O到直線MN的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，（10分） 
∴${S}_{△MON}=\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{|m|}•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$4\sqrt{3}$（定值）．    （12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．