Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-（x+2）^{2}，x＜0}\\{{e}^{x}+x，x≥0}\end{array}\right.$，給出如下三個命題：
①函數(shù)f（x）在（-5，-3）上單調(diào)遞增；
②不等式f（x）≤1的解集為（-∞，-4]；
③函數(shù)f（x）在[-3，2]上的最大值為e²+2，最小值為2，
其中真命題的個數(shù)為1．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷①；討論x＜0，x≥0，由二次不等式的解法和函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到②的正確性；討論x∈[-3，0），[0，2]的值域，即可得到所求最值，進(jìn)而判斷③．

解答 解：對于①，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-（x+2）^{2}，x＜0}\\{{e}^{x}+x，x≥0}\end{array}\right.$，當(dāng)x＜0時，f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，0）遞減，
則f（x）在（-5，-3）遞增，故①正確；
對于②，f（x）≤1，即為x＜0時，5-（x+2）²≤1，解得x≤-4；當(dāng)x≥0時，e^x+x≤1，由e^x+x≥1，可得
e^x+x=1，即x=0，則原不等式的解集為{0}∪（-∞，-4]．故②錯誤；
對于③，當(dāng)-3≤x＜0時，f（x）在x=-2處取得最大值5，當(dāng)x=0時，f（0）=1，f（x）∈（1，5]；
當(dāng)0≤x≤2時，f（x）遞增，即有f（x）∈[1，e²+2]．綜上可得f（x）的最大值為e²+2，最小值為1，故③錯誤．
故正確的個數(shù)為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性和值域的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．