Question

11．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是AB、BB₁的中點(diǎn)，AB=2，$A{A_1}=AC=BC=\sqrt{2}$
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求異面直線BC₁和A₁D所成角的大��；
（3）求三棱錐A₁-DEC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理，需在平面A₁DE內(nèi)找一條與BC₁平行的直線．因?yàn)锳CC₁A₁是矩形，故對(duì)角線互相平分，所以連結(jié)AC₁，與A₁C交于點(diǎn)O．因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則OD是△ABC₁的中位線，所以BC₁∥OD，從而可證得BC₁∥平面A₁CD．
（2）由（1）可得∠A₁DF或其補(bǔ)角為異面直線BC₁和A₁D所成角，在△A₁DF中，由余弦定理可得異面直線BC₁和A₁D所成角的大��；
（3）先求出CD⊥平面ABB₁A₁，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=1，利用體積公式求出三棱錐A₁-CDE的體積．

解答 （1）證明：連接AC₁與A₁C相交于點(diǎn)F，連接DF，
由矩形ACC₁A₁可得點(diǎn)F是AC₁的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，
∴DF∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；                      …（4分）
（2）解：由（1）可得∠A₁DF或其補(bǔ)角為異面直線BC₁和A₁D所成角．
DF=$\frac{1}{2}$BC₁=$\frac{1}{2}\sqrt{2+2}$=1，A₁D=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，A₁F=$\frac{1}{2}$A₁C=1．
在△A₁DF中，由余弦定理可得：cos∠A₁DF=$\frac{1+3-1}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠A₁DF∈（0，π），∴∠A₁DF=$\frac{π}{6}$，
∴異面直線BC₁和A₁D所成角的大�。弧�（8分）
（3）解：∵AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=1．
∴${S}_{△{A}_{1}DE}$=${S}_{矩形AB{B}_{1}{A}_{1}}$-S_△BDE-${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$-${S}_{△A{A}_{1}D}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
∴三棱錐C-A₁DE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{2}}}{4}×1=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線BC₁和A₁D所成角，是中檔題，解題時(shí)要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用．