Question

10．已知拋物線y²=4x，過定點(diǎn)A（-2，1）的直線l的斜率為k，下列情況下分別求k的取值范圍：
（1）l與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）l與拋物線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（3）l與拋物線沒有公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 由題意可得直線l的方程為y-1=k（x+2），討論當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立拋物線方程，消去x并整理，由判別式等于0，大于0，小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得直線l的方程為y-1=k（x+2），
當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=1，直線l與拋物線C有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k≠0時(shí)，直線與拋物線聯(lián)立，消去x并整理，得ky²-4y+8k+4=0．
判別式△=（-4）²-4k（8k+4）=-16（k+1）（2k-1），
由△=0，得k=-1或k=$\frac{1}{2}$；由△＞0，得-1$＜k＜\frac{1}{2}$．
所以，（1）恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的相應(yīng)取值范圍是{-1，0，$\frac{1}{2}$}；
（2）恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的相應(yīng)取值范圍是{x|-1＜k＜$\frac{1}{2}$且k≠0}；
（3）沒有公共點(diǎn)時(shí)，k的相應(yīng)取值范圍是{x|x＜-1，或x＞$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由直線與拋物線的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．