Question

已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足．

（1）求

（2）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析，；（3）的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件中，可令，結(jié)合，即可得：；（2）欲證是等差數(shù)列，而條件中，因此可以首先根據(jù)數(shù)列滿足的條件探究與滿足的關(guān)系，進而可以得到數(shù)列中與滿足的關(guān)系：當時，，

∴，即，∴，

又∵ ，∴，而，∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，；

（3）由（2）結(jié)合條件，可得，因此可以考慮采用裂項相消法求數(shù)列的前項和：，從而可將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式：，結(jié)合，即可知的最大值為．

試題解析：（1）∵，∴令n=1，；

（2）證明：在中，當時，，

∴，即，∴，

又∵ ，∴，而，∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

∴，∴；

（3）由（2）及 ，∴cn＝log2＝log22n＝n，

∴，∴ ，

∴，

又∵，∴的最大值為．

考點：1．等差數(shù)列的證明；2．求數(shù)列的通項公式；3．裂項相消法求數(shù)列的和．