Question

18．設(shè)p：x²-5x+a＜0； q：x²-4x+3＜0或2${\;}^{{x}^{2}}$＜2^6x-8
（1）當(dāng)a=6時(shí)，“p∨q”為真，求x的范圍
（2）￢p是￢q的充分不必要條件時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出p，q為真時(shí)不等式的解集，再根據(jù)p∨q為真，p，q中至少一個(gè)為真，分類(lèi)討論即可得到x的范圍；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，q是p的充分不必要條件，建立條件關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若q為真，則x²-4x+3＜0，或x²-6x+8＜0，解得1＜x＜4，
當(dāng)a=6時(shí)，p為真，則x²-5x+6＜0，解得2＜x＜3，
∵p∨q為真，
∴p，q中至少一個(gè)為真，
當(dāng)p為真時(shí)，q為假時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{x≤1，或x≥4}\end{array}\right.$，無(wú)解，
當(dāng)p為假，q為真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x≤2，或x≥3}\\{1＜x＜4}\end{array}\right.$，解得1＜x≤2，或3≤x＜4，
當(dāng)p，q均為真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜4}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
綜上所述，x的范圍為1＜x＜4，
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，
∴q是p的充分不必要條件，
∴q⇒p，
由于x²-5x+a＜0，當(dāng)△=25-4a＞0時(shí)，即a＜$\frac{25}{4}$時(shí)，解得$\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}$＜x＜$\frac{5+\sqrt{25-4a}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}＜1}\\{\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}＞4}\\{a＜\frac{25}{4}}\end{array}\right.$
解得a＜4，
∴a的取值范圍（-∞，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用逆否命題的等價(jià)性將￢p是￢q的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為q是p充分不必要條件，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．