Question

12．在平面直角坐標系xOy中，動點P到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1．
（Ⅰ）求點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F任作直線l，交曲線E于A，B兩點，交直線x=-1于點C，M是AB的中點，求證：|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，點P的軌跡E是以F為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，由此能求出E的方程．
（Ⅱ）設點A，B，M，F在準線上的投影分別為A₁，B₁，N，H，要證|CA|•|CB|=|CM|•|CF|，只需證|CA₁|•|CB₁|=|CN|•|CH|，設直線AB的方程為x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，由此入手能證明|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．

解答 解：（Ⅰ）依題意，點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等，
∴點P的軌跡E是以F為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，
∴E的方程為y²=4x．…（5分）
證明：（Ⅱ）根據對稱性只考慮AB的斜率為正的情形，
設點A，B，M，F在準線上的投影分別為A₁，B₁，N，H，
要證|CA|•|CB|=|CM|•|CF|，就是要證$\frac{{|{CA}|}}{{|{CM}|}}=\frac{{|{CF}|}}{{|{CB}|}}$，
只需證$\frac{{|{C{A_1}}|}}{{|{CN}|}}=\frac{{|{CH}|}}{{|{C{B_1}}|}}$，即證|CA₁|•|CB₁|=|CN|•|CH|…①
設直線AB的方程為x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m…②，y₁y₂=-4…③，
在x=my+1中，令x=-1，得$y=\frac{-2}{m}$，即$C（{-1，\frac{-2}{m}}）$
因此，要證①式成立，只需證：$（{{y_1}-{y_c}}）•（{{y_2}-{y_c}}）=（{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}-{y_c}}）•（{-{y_c}}）$
只需證：${y_1}{y_2}-\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}{y_c}=0$…④，
由②③兩式，可知${y_1}{y_2}--\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}{y_c}=-4-2m（{-\frac{2}{m}}）=0$，
∴④式成立，∴原命題獲證．
∴|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．…（12分）

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查兩組線段乘積相等的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意拋物線性質和等價轉化思想的合理運用．