Question

9．對(duì)于定義在區(qū)間M上的函數(shù)f（x），若滿足對(duì)?x₁，x₂∈M且x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間M上的“非減函數(shù)”，若f（x）為區(qū)間[0，1]上的“非減函數(shù)”，且f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1；又當(dāng)x∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，f（x）≤2x-1恒成立．有下列命題：①?x∈[0，1]，f（x）≥0；②當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時(shí)，f（x₁）≠f（x₂）；③f（$\frac{1}{7}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{6}{7}$）=2；④當(dāng)x∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，f（f（x））≤f（x）．
其中正確命題有（　�。�

• A． ②③
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 對(duì)于①，由f（0）=0，然后直接利用“非減函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷；
對(duì)于②，由x∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，f（x）≤2x-1恒成立得到f（$\frac{3}{4}$）≤$\frac{1}{2}$，在等式f（x）+f（l-x）=l中，取x=$\frac{1}{2}$得到f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，而$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$，從而說(shuō)明f（$\frac{3}{4}$）≥$\frac{1}{2}$．利用兩邊夾的思想得到f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$．同理得到f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$．結(jié)合新定義即可得到結(jié)論；
對(duì)于③，結(jié)合②的結(jié)論及等式f（x）+f（l-x）=l變形即可得到；
對(duì)于④，當(dāng)x∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，判斷f（x）與x的大小關(guān)系即可．正確．

解答 解：對(duì)于①，因?yàn)閒（0）=0，所以對(duì)?x∈[0，1]，根據(jù)“非減函數(shù)”的定義知f（x）≥0．所以①正確；
對(duì)于②，因?yàn)楫?dāng)x∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，f（x）≤2x-1恒成立，
∴f（$\frac{3}{4}$）≤$\frac{1}{2}$，
又f（x）+f（l-x）=l，所以f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
由而$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$，由“非減函數(shù)”的定義可知，所以f（$\frac{3}{4}$）≥$\frac{1}{2}$．
所以f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
同理有f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，由“非減函數(shù)”的定義可知，f（$\frac{1}{4}$）≤f（x）≤f（$\frac{3}{4}$），所以f（x）=$\frac{1}{2}$．所以②不正確；
由②中，當(dāng)x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$．可得：
所以③正確；f（$\frac{5}{11}$）=f（$\frac{7}{13}$）=$\frac{1}{2}$，由f（x）+f（1-x）=1得：f（$\frac{1}{7}$）+f（$\frac{6}{7}$）=1，
故f（$\frac{1}{7}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{6}{7}$）=2，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)x∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，x≥2x-1，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為區(qū)間D上的“非減函數(shù)”，
所以f（x）≥f（2x-1），
所以f（f（x））≤f（2x-1）≤f（x）．所以④正確．
故正確命題有：①③④．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與運(yùn)用，考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是正確理解新定義，考查了學(xué)生的抽象思維能力，是中檔題．