Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為別為，，離心率是． 橢圓的左、右頂點(diǎn)分別記為，．點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）求線段長(zhǎng)度的最小值．

（Ⅲ）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上的點(diǎn)滿足：的面積為．試確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）2

【解析】分析：（1）先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，再根據(jù)離心率得a，解得b,（2）設(shè)直線的方程為，解得S，得直線的方程，與直線聯(lián)立解得M,N坐標(biāo)，即得，最后根據(jù)基本不等式求最值，（3）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，求出S，由的面積得點(diǎn)到直線的距離等于，與點(diǎn)T在橢圓上，聯(lián)立方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

詳解：解：（Ⅰ）∵，且，

∴，，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）易知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，

從而．

由得．

設(shè)，則，得，

從而，即．

又，故直線的方程為，

由得，

∴，故，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

故當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小值時(shí)，，

此時(shí)的方程為，，

∴，

要使的面積為，只需點(diǎn)到直線的距離等于，

所以點(diǎn)在平行于且與距離等于的直線上．

設(shè)，則由，解得或．

①當(dāng)時(shí)，由得，

∵，故直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，由得，

∵，故直線與橢圓沒有交點(diǎn)．

綜上所述，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．