Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，數(shù)列{b_n}是公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，且b₄是b₂與b₆+1的等比中項(xiàng)，b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n-1}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=（$\frac{1}{2}$）^a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將數(shù)列{b_n}中的第2、4、6項(xiàng)分別用首項(xiàng)表示出來(lái)，利用b₄是b₂與b₆+1的等比中項(xiàng)計(jì)算可知b₁=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可知b_n=$\frac{n}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知a_n=3n-2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知c_n=$\frac{4}{{8}^{n}}$，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵數(shù)列{b_n}是公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴b₂=b₁+$\frac{1}{2}$，b₄=b₁+$\frac{3}{2}$，b₆=b₁+$\frac{5}{2}$，
又∵b₄是b₂與b₆+1的等比中項(xiàng)，
∴${_{4}}^{2}$=b₂（b₆+1），即$（_{1}+\frac{3}{2}）^{2}$=$（_{1}+\frac{1}{2}）$$（_{1}+\frac{5}{2}+1）$，
解得：b₁=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
∵b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n-1}$（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}$•（3n-1）-$\frac{n-1}{2}$•（3n-4）=3n-2，
又∵a₁=2b₁=1滿(mǎn)足上式，
∴a_n=3n-2；
（2）由（1）可知c_n=（$\frac{1}{2}$）^a_n=$\frac{1}{{2}^{3n-2}}$=$\frac{4}{{8}^{n}}$，
∴T_n=4•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{8}^{n}}）}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{16}{7}$-$\frac{2}{7}$•$\frac{1}{{8}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．